Το παράδοξο των γενεθλίων!

Αν υπάρχουν μέσα σε ένα δωμάτιο 23 άτομα, ποια είναι η πιθανότητα να έχουν 2 από αυτά ίδια ημέρα γενεθλίων;

Διαισθητικά σκεφτόμαστε ότι αφού υπάρχουν 365 διαφορετικές ημερομηνίες γενεθλίων σε ένα έτος και μόνο 23 άτομα, θα υπάρχουν το πολύ 23 διαφορετικές ημέρες γενεθλίων στο δωμάτιο. Οπότε για να είναι 2 όμοιες η πιθανότητα θα είναι σχετικά μικρή. Όμως τι λένε τα μαθηματικά;

Υπάρχουν 365 διαφορετικές ημέρες γενεθλίων (εξαιρούμε τα δίσεκτα έτη). Η πιθανότητα το πρώτο άτομο να έχει την ίδια ημερομηνία με το δεύτερο άτομο είναι 1 * (1/365) = 0,274%

Επομένως κάθε άτομο με ένα άλλο έχει πιθανότητα επιτυχίας 0,274%

Πόσες δυάδες ατόμων μπορούμε να ορίσουμε με 23 άτομα;

Κάθε άτομο μπορεί να γίνει ζευγάρι με 22 άλλα άτομα. Δηλαδή 23 άτομα μπορούν να δημιουργήσουν 23 x 22 = 506 ζευγάρια. Σωστά;

Όχι. Επειδή τα μισά ζευγάρια (από τα 506) θα είναι τα ίδια. Αν π.χ. το άτομο Νο14 γίνει ζευγάρι με τα υπόλοιπα 22 άτομα θα γίνει και με το άτομο Νο21. Αν το άτομο Νο21 γίνει ζευγάρι με τα υπόλοιπα 22 άτομα θα γίνει και με το άτομο Νο14. Οπότε το ζευγάρι Νο14-Νο21 θα υπάρχει 2 φορές. Έτσι για να είμαστε σωστοί πρέπει να διαιρέσουμε το 506 δια του 2. Δηλαδή προκύπτουν 253 μοναδικά ζευγάρια.

Το κάθε ζευγάρι είδαμε ότι έχει πιθανότητα 0,274% να έχει κοινή μέρα γενεθλίων. Τα 253 ζευγάρια; 253 x 0,274% = 69,32% Σωστά;

Όχι. Τι πιθανότητα υπάρχει δύο ζευγάρια να μην έχουν κοινή μέρα γενεθλίων; Για το ένα ζευγάρι η πιθανότητα αυτή είναι 100% – 0,274% = 99,73% Για το δεύτερο ζευγάρι επίσης. Και τα δύο να συμβαίνουν μαζί;

99,73 x 99,73% = 99,46%

Αντιστρόφως για να βρούμε την πιθανότητα τα δύο ζευγάρια να έχουν κοινή μέρα γενεθλίων (ένα από τα δύο) κάνουμε την αφαίρεση:

100 – 99,46% = 0,54%

Για τρία ζευγάρια;

99,73 x 99,73% x 99,73% = 99,19%
100% – 99,19% = 0,81%

4 ζευγάρια:
99,73 x 0,9973 x 0,9973 x 0,9973 = 98,92%
100% – 98,92% = 1,08%

5 ζευγάρια:
99,73 x (0,9973)^4 = 98,66%
100% – 98,66% = 1,34%

6 ζευγάρια:
100% * (0,9973)^6 = 98,39%
100% – 98,39% = 1,61%

253 ζευγάρια:
100% * (0,9973)^253 = 49,95%
100% – 49,95% = 50,05%

Προκύπτει ότι για 23 άτομα η πιθανότητα 2 τουλάχιστον να έχουν κοινή ημέρα γενεθλίων υπερβαίνει το 50%